기체 확산 계수 측정 실험 결과 보고서

실험 주제

 기체 확산 계수 측정 실험을 진행함으로써 기체 계면에서 일어나는 기체 확산 현상을 시각적으로 관찰해 기체 확산 계수를 예측하고, 이론값과의 비교해 본다.

 

실험 목적

 기체의 확산 특성을 이해함으로써 기체 확산에 대한 개념 및 측정 방법을 숙지한다. 이후 측정한 실험값과 이론값을 비교해 액위 이동식을 유도해 보고 기체 확산 계수를 확인한다.

 

이론적 배경

1) 분자 확산에 대해

 분자 확산 또는 분자 이동은 각각의 분자들이 유체를 통해 이동하는 것을 의미한다. 이는 각 분자들의 랜덤 이동 거동에 의해 유발된다고 할 수 있다. 분자들은 랜덤한 경로를 통해 이동하며, 이러한 분자 확산은 random-walk process라고도 불린다.

그림1. 분자 확산 표현

 

 그림1에서 분자A가 분자B들의 집합을 통해 이동된다고 할 때, 다른 한쪽보다 어느 한 부분에 많은 수의 분자A가 있다면, 분자A는 더 많은 영역에서 적은 영역으로 이동할 확률이 높다. 따라서 A의 순 확산은 높은 농도로부터 낮은 농도로 일어나게 된다.

 

2) Fick의 법칙

 전체 유체가 움직이지 않는 상태에서의 분자 확산을 생각해 보면 여기서 분자의 확산은 농도 구배에 의해 발생하게 된다. 일반적으로 Fick의 법칙 식은 A 그리고 B binary mixture에 관해 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

 위 식에서 c는 A와 B성분의 농도 합이고, x는 몰분율, J_Az^는 성분A에 대한 z방향의 몰 확산 계수다. D_AB는 B분자 모임 속, A분자의 분자 확산성을 의미한다. 아세톤이 휘발되어 정체된 공기층을 통해 확산하여 물질의 이동이 일어날 때, 준 정상상태(pseudo-steady state) 및 이상기체를 가정하면 시간에 따른 액위의 이동은 다음식과 같은 관계식으로 표현이 가능하다.

 

 위 식에 관한 유도를 위해선 다음과 같은 이론적 배경이 필요하다.

 

3) 대류에 대해

 유체가 대류 흐름에 의해 흐를 때, A의 확산 속도는 더 빨라진다. 이것은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

 위 식에서 v_A는 성분 A의 확산 속도, v_Ad는 성분A의 정지 상태 확산 속도, v_M는 전체 유체의 대류 속도다. 위 식의 양변에 c_A를 곱하면 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

 이때, v_M은 (N/c)이고, Net flux인 N은 (N_A+N_B)이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

4) 일방 확산에서 확산 계수

 일방 확산에서 N_B는 0이다. 일방적으로 성분A가 확산되는 것으로 가정하면 성분B의 확산은 없는 것이다. 이는 다음과 같이 정리되어 표현될 수 있다.

 위 식에서 로그 평균을 이용해 이어 정리하면 다음과 같다.

 구동력을 농도에 대한 식으로 정리한 위 식과 같이 압력과 몰분율에 대해 정리하면 다음과 같다. 먼저 구동력을 몰분율로 표현했을 때

 

 구동력을 압력으로 표현했을 때

 

 기체 확산 계수 측정 실험을 진행시 공기층을 통해 아세톤이 휘발되며 확산될 때, 준 정상상태(pseudo-steady state)라고 가정한다면 다음과 같은 유도가 가능하다.

 

 위 식에 분압법칙을 적용하면 다음과 같이 정리될 수 있다.

 

5) Fuller’s equation이란
 기체에 관한 일반적인 가정인 완전한 구, 완전 탄성체, 운동량 보존이 가정된 하에서 낮은 압력의 희박한 두 가지 혼합 기체의 확산 계수는 기체의 운동 법칙에 의해서 예측될 수 있다.

 위 식은 분자의 평균속도와 평균 자유 거리의 비에 비례상수인 1/3을 곱한 값으로 기본적인 기체 확산도를 의미한다. 이때 우변의 두 인자는 모두 온도와 압력에 영향을 받으므로 확산도 또한 온도와 압력에 영향을 받는 것을 알 수 있다.
 평균속도의 경우, T^0.5에 비례하고, 평균 자유 거리의 경우, T^1.0와 P^(-1.0)에 비례한다. 따라서 기체 확산도를 T^1.5,P^(-1.0)에 비례하는 형태로 나타낸 Chapman-Enskog 식은 다음과 같다.

 위 식은 fuller’s 방정식의 한 형태이고, 인력과 척력 등을 고려하지 않은 근사식이며, 무차원수인 Ω_(D,AB)는 온도와 관련된 함수이다. 이를 이용해 기체 확산도가 T^1.75,P^((-1.0) )에 비례하는 다른 형태 의 Fuller’s 방정식을 유도하면 다음과 같다.

 

 이는 앞선 식에서 Ω_(D,AB)를 상수화한 것이고, 분모 부분은 길이의 차원이므로 결국 두 식은 동일한 의미를 갖는다.

 

실험 장치 및 방법

1) 실험 장치

그림2. 기체확산계수 측정 실험장치

 

 그림 2는 기체 확산 계수 측정 실험 장치이다. 이 장치는 메인 전원 및 대류, 히터, 흡입 등을 조절하는 계기판을 갖고, 아크릴 공간 속 기체 확산을 측정할 수 있는 모세관이 있다. 이를 통해 아세톤을 주입할 수 있고, 초점을 맞춰 사람의 눈으로 현상을 측정한다. 아크릴 공간 속 물은 아크릴이 녹지 않도록 지속적으로 채워져있어야 한다.

 

2) 실험 방법

 a) 기계 내에 물을 채워져 있는지 확인한다.

 b) 액면과 일치하도록 주사기를 이용해 모세관에 아세톤을 주입한다.

 c) 메인 전원 및 대류, 히터, 흡입 버튼을 눌러 기기를 가동한다. (히터는 40℃로 설정한다.)

 d) 확산에 따른 아세톤 높이 변화량을 특정 시간 간격으로 측정한다. (20분 간격으로 5회 이상)

 

3) 주의 사항

 a) 물이 충분히 채워져 있는지 확인 후 기기 가동한다.

 b) 기기 온도가 지나치게 높이 올라가지 않도록 유지한다.

 c) 아세톤 주입 시 공기 방울이 발생하지 않도록 주의한다.

 d) 시간 측정 시, 눈금이 지나는 순간 정확히 측정하기 위해, 각 시간마다 여러 사람이 측정해 평균을 구하는 방식으로 개인차에 의한 오차를 최소화하도록 한다.

 

실험 결과 및 고찰

	0	1	2	3	4	5
시간(t) [s]	0	1200	2400	3600	4800	6000
거리(z) [mm]	0.67	2.23	3.79	5.15	6.76	8.56
[mm²]	0	2.43	9.73	20.07	37.09	62.25

표 1. 시간에 따른 액위의 변화

 

 표1은 위 실험 방법에 따라 온도가 40℃로 설정된 수조 속에서 20분마다 변화된 아세톤의 액위를 측정한 결과이고, 실험에 사용된 아세톤의 분자량은 58.08[g/mol], 밀도는 0.79[g/cm³]이다.

그림 3. 시간에 따른 액위의 변화

 

 표1을 이용해 시간에 따른 액위의 변화를 그래프로 나타내면 그림3과 같다. 위 그래프를 통해 추세선을 확인한 결과, 기울기는 다음과 같다.

 위 기울기를 통해 실험값에 관한 기체 확산 계수를 계산할 수 있고, 계산에 필요한 인자들의 값과 계산 결과를 정리하면 다음과 같다.

 

 위와 같이 실험값에 대한 기체 확산도는 2.58[mm²/s]의 값이 계산되었다. 이와 이론값을 비교하기 위해 Fuller’s 방정식을 이용해 기체 확산도를 계산해 보면 다음과 같다.

 위 두 식에서 구한 기체 확산도의 이론값과 실험값의 오차율은 무려 77.622%에 달한다. 어째서 이렇게 큰 오차가 발생했는지에 대한 심각한 고민의 결과는 다음과 같다.

 

1) 액위 측정 과정
 매우 정량적이지 못한 측정 방법으로 아세톤의 액위를 측정했다. 측정 과정은 매번 사람의 손으로 시간을 기록하고, 사람의 눈으로 영점을 조절해 액위의 변화를 측정했기 때문에 이 같은 과정은 측정값의 신뢰도가 낮을 확률이 매우 높은 측정 방법이라고 생각하며, 이번 실험을 진행한 A1조의 기체 확산 계수 실험의 측정값은 실제로 믿을만하지 못하다고 필자는 느껴진다. 이 같은 측정 방법에서 오차가 발생할 수 있는 부분을 하나하나 나눠보면 크게 다음과 같이 정리될 수 있다.

1. 정확한 시간에 측정하지 못할 확률
2. 영점을 맞추기 위한 눈과 렌즈 간 거리의 차이가 일정하지 않을 확률
3. 액위를 측정하기 위한 눈의 좌표가 일정하지 않을 확률
4. 액위를 측정하기 위한 눈의 각도가 일정하지 않을 확률
5. 액위 측정 시 기준이 일정하지 않을 확률

 위 확률 모두 낮지 않을 확률이 매우 높다고 생각하고, 액위의 측정 단위가 [mm]인 만큼 측정 시 눈의 작은 각도 차이에도 측정값에 작지 않은 변화가 생길 것이다.
 기체 확산도의 이론값을 계산하기 위한 수식을 살펴보면 기울기를 제외한 다른 인자들은 상수에 가까운 인자로 오차율에 영향을 주기 힘든 값이라고 생각한다. 따라서 실험을 통해 측정하고 계산된 기울기가 오차율 지분의 대부분을 가져갈 확률이 높다고 생각한다. 따라서 오차율이 0%가 되기 위해선 기울기가 어떤 값을 가져야 하는지 계산한 결과는 다음과 같다.

 

 이론값을 계산하기 위한 Fuller’s 방정식 상의 인자들도 모두 상수에 가깝기 때문에 실험 조건대로 아세톤의 액위를 측정했다면 기체 확산도가 11.529[mm²/s]값이 나오는 것은 틀림이 없다고 생각한다. 따라서 오차율이 0%이기 위해선 유일한 측정값이라고 할 수 있는 기울기가 0.0547[mm²/s]값이어야 했다.
 기체 확산도의 이론값이 11.529[mm²/s]인 것에 대해 수식적으로 틀림이 없다고 가정했을 때, 실험의 측정값에 의한 선형추세선의 기울기가 0.0547이기 위해선 실험의 측정값이 어떠한 값을 가져야 했었는지에 대해 역으로 계산해 보고자 한다. 먼저 가정할 것은 다음과 같다.

1. 기체 확산도의 이론값 11.529[mm²/s]는 틀림이 없다.
2. 실험값에 의한 그래프 상 선형추세선의 이상적인 기울기는 0.0547이다.
3. 각 시간별 액위 측정값 간의 차이는 일정하다.

 따라서 각 시간별 액위 측정값과 z_t^2-z_t0^2값은 다음과 같다.

시간 [s]	1200	2400	3600	4800	6000
거리(x) [mm]	x	2x	3x	4x	5x
[mm²]	x²	(2x)²	(3x)²	(4x)²	(5x)²

표 2. 가정에 따른 실험 측정값

 

 위 가정에 따라 x값을 역 계산하기 위해 선형추세선에 대한 개념을 상기할 필요가 있다.

 

그림 4. 추세선에 대한 개략도

 

 그림 4와 같이 그래프 상에 세 점이 있고, 추세선이 빨간 선과 같다고 가정한다면, 각 점에 대한 추세선의 y값은 ax_n+b와 같다. 이때 오차는 각각 y_n-(ax_n+b)이고, 추세선이라 함은 이러한 오차의 총합을 최소화하는 것이다. 오차의 총합을 최소화하기 위한 방법으로는 각 오차의 제곱의 총합을 최소화하는 방법을 사용하기로 한다.
 그렇다면 우리가 최소화하고 싶은 수식은 F(a,b) = ∑(y_n-ax_n+b)²와 같다. 우리는 이 값이 최소화 되기 위한 a와 b값을 찾기 위해 다음과 같은 조건을 만족하고자 한다.

 

 위 식에서 좌변의 2 * 2행렬의 역행렬과 우변을 곱해 a와 b를 알 수 있고, 계산 결과는 다음과 같다.

그림 5. 이상적인 아세톤 액위의 변화

 

시간 [s]	1200	2400	3600	4800	6000
거리(x) [mm]	3.31	6.62	9.92	13.23	16.54
[mm²]	10.94	43.76	98.46	175.04	273.51

표 3. 이상적인 측정값

 

 계산 결과, 기체 확산도는 11.529[mm²/s]이고, 선형추세선의 기울기가 0.0547일 때, 액위의 변화는 20분마다 3.31[mm]의 변화가 생기는 것을 알 수 있다. 이것은 실험 측정값의 평균 액위차인 1.58[mm]에 2배 이상 차이가 나는 이론값이므로 다음과 같은 생각도 고려해 볼 수 있다.

 

2) 계산 과정
 이번 실험의 결과를 내기 위한 계산식에 잘못이 있을 확률이다. 계산에 사용될 최종 방정식의 유도를 필자가 잘못했을 수도 있고, 교수님께서 안내해 주신 풀이 방법을 필자가 잘못 해석해서 생긴 오류일 수 있으며, 상대적으로 복잡한 계산 과정을 거치기 때문에 필자의 계산 과정 자체에도 오류가 있을 수 있다.

 

 이번 계산 과정에서 사용된 수식은 크게 위 두 식을 이용했다. 좌식은 실험값에 대한 결과를, 우식은 이론값에 대한 결과를 계산하기 위해 사용되었다. 우식의 경우, 온도, 압력, 분자량, 부피의 합은 측정값이 아닌 계산 과정상 상수에 가깝기 때문에 잘못된 수식을 이용한 경우가 아니라면 문제가 있을 확률이 낮을 것이라고 생각한다. 좌식의 경우, 기체상수, 압력, 온도, 분자량, 밀도, 기체 몰분율은 우식과 같이 계산 과정상 상수에 가깝기 때문에 이를 제외한 액위, 시간만이 측정값으로써 오차가 있을 확률이 높다고 생각한다.
 따라서 위에서 이 두 값을 조절해 이상적인 결과를 확인했지만, 계산 결과 이상적인 측정값이 실제 측정값의 2배 이상인 것을 확인하니 계산 과정에 사용된 수식이 잘못되었는지 의심하게 되었다.
 왜냐하면 아무리 정량적이지 못한 사람의 손과 눈으로 측정했다 한들 5회에 나눠서 측정했음에도 5회 전부, 이상적인 측정값에 비해 2배 이상의 액위 차가 발생하기는 힘들다고 생각하기 때문이다. 그것도 [mm]단위의 작은 영역에서 말이다.
 만약 지금까지 계산에 사용된 수식 및 과정이 잘못됨으로써 이같이 큰 오차율이 발생한 것이라면 이것에 대해선 필자의 역량 미달의 결과라고 생각한고, 이 외에 오차율에 관여했을 수 있는 부분들에 대해선 비중이 크지 않다고 생각한다.

 

결론

	기체확산도 [D_AB(mm²/s)]
실험값	2.584
이론값	11.529
오차율	77.622%

표 4. 실험값과 이론값 간의 오차율

 

 이번 실험에서는 실험 장치에 아세톤을 주입하고, 온도를 설정해 시간에 따른 액위의 변화를 측정했다. 실험 측정값의 경우, 20분마다 액위의 변화를 총 5번 측정했고, 이 결과로 액위의 변화는 평균적으로 1.58[mm]에 해당했다. 이 측정값을 이용해 그래프를 그리고, 선형추세선을 추가한 결과, 추세선의 기울기는 0.01225 값이었으며, 기체 확산도 실험값의 경우, 2.584[mm²/s]에 해당했다. 이어서 측정값에 따른 이론값을 확인해 본 결과, 기체 확산도의 이론값은 11.529[mm²/s]에 해당하면서 실험값과의 오차율이 77.622%에 달했다.
 이에 따라 오차율이 0%에 해당하기 위해 측정되었어야 할 이상적인 측정값은 다음과 같다. 액위의 평균 변화량은 3.31[mm]이고, 변화량에 따른 그래프 추세선의 기울기는 0.0547이다. 이는 실험과정에서 측정된 실험값과 큰 차이가 있는 결과로 실험 과정 및 계산 과정에 오류가 있었을 확률이 높음을 의미하고, 필자는 이번 실험에서 발생한 큰 오차에 부끄러움을 느낀다.

 

참고문헌

1. 이영기, 한경대학교 화학공학과, 화학공학실험 기체확산계수 측정 실험, 2023.09.07

2. 박창호, 김우식 외 1명 저, 지인당, “물질전달 및 분리공정”, 1999, 14~25p

3. 이화영, 전해수 외 1명 역, McGraw-Hill Korea, “단위조작”, 2005, 441~473p

4. W.M.Haynes, Ph.D 저, CRC Press, “Handbook of Chemistry and Physics”, 2014, 15-25p

5. Samchun Chemicals Acetone 99.5% MSDS http://www.samchun.com/upload/pdf/67641(0).pdf